Máximos y Mínimos de una función

. Máximos y mínimos relativos (o locales) de funciones derivables

Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo.

 

 

 

Figura 2

Condición necesaria de extremo

Proposición.

Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f ‘ (a)=0.

Demostración. Si no fuera cierto y por ejemplo f ’(a)>0 entonces por la proposición anterior f sería creciente en un entorno del punto a, lo que contradice la existencia de extremo.

La condición no es suficiente.

Ejemplo 6. La función y =x³ es creciente en 0, por lo que no puede tener extremos, y sin embargo f ’(0)=0.

Criterio práctico. Hay extremo relativo en el punto si la derivada de la función en ese punto es cero (condición necesaria f ‘(0)=0) y en dicho punto cambia el crecimiento. Ver figura 2.

         f ’      <0      =0                >0     

Si                          |a                         hay mínimo relativo en (a, f(a))

f                                 mínimo            

f ’      >        =0                <                

Si                          |a                           hay máximo relativo en (a, f(a))

                   f        máximo       

Ejercicio 9.Dada la función  se pide estudiar el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos.

Condición suficiente de extremo

Proposición. Sea f una función derivable en a y tal que f ‘(a)=0:

a) Si f ’’>0 entonces f tiene un mínimo relativo en el punto a.

b) Si f ‘’<0 entonces f tiene un máximo relativo en el punto a.

Esta proposición nos da también un método para resolver los problemas de máximos y mínimos para funciones derivables.

Se presentarán en  tablas estos resultados:

f(x)	Crece	Máximo	Decrece
f '(x)	+	0	-
f ''(x)	-	-	-

f(x)	Decrece	Mínimo	Crece
f '(x)	-	0	+
f ''(x)		+

Ejercicio 10. Descomponer un número N en dos sumandos x e y de tal manera que x² +6y sea mínimo.

Nota[2]. Cuando busquemos los extremos absolutos de la función f, si esta es continua en un cerrado y derivable en el abierto, buscaremos los valores en que la derivada es cero y los compararemos con los de los extremos, el valor mas grande será el máximo y el más pequeño el mínimo.

Ejercicio 11. Se considera la función f(x) =x³ –3x definida sobre el intervalo [-2,2], se pide hallar los puntos donde f alcanza máximo absoluto.

Ejercicio 12. Entre todos los rectángulos de 20cm de perímetro halla el que tiene diagonal mínima.

7. Algunas “precisiones” sobre los extremos de funciones

OBSERVACIÓN 1. Decir que f posee un máximo local en un punto x₀, significa que existe un intervalo (x₀ - r, x₀ + r) tal que f(x)f(x₀) para todo x perteneciente al conjunto 

(x₀ - r, x₀ + r) Ç D_{f .}

Análogamente para mínimo local.

Esta matización en la definición de extremo, de intersecar el entorno con el  dominio de f, D_f,  es esencial. En otro caso se puede llegar al absurdo de decir que una función continua, definida en un dominio compacto, no tiene extremos locales (cuando sabemos por el teorema de Weiertrars que los posee incluso absolutos), cuando éstos se alcanzasen en puntos no interiores del dominio.

OBSERVACIÓN 2. No se deben asociar tanto los extremos locales a las derivadas, ya que éstos pueden encontrarse en los puntos en que la función no es derivable.

Ejercicio 13. La función:

(su dominio es [-2,3])

Cuya gráfica se adjunta

_{Figura 3}

¿Tiene extremos locales? ¿tiene extremos absolutos?. En caso afirmativo ¿en qué puntos se alcanzan?. Razonas la respuestas.

Si no tuvieras las gráficas ¿cómo les localizarías?

Teniendo expuesto anteriormente deduce razonadamente como se pueden calcular los extremos (absolutos y relativos) de una función.

Ejercicio 14. Calcula los extremos (indica si son absolutos o no) de las siguientes funciones, en caso de que existan:

a) f(x)=-x³ +3x;       b) ;  c) 

d) 

e) 

8. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

Una función es convexa[3] en a, si existe un intervalo que contiene al punto a,  tal que la diferencia entre la ordenada de la función y la ordenada de la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a))es positiva en dicho intervalo.

Figura4

Análogamente se dice que es cóncava cuando dicha diferencia es negativa.

Se dice que f tiene un punto de inflexión en a si existe un entorno de a en que la diferencia entre la ordenada de f y la de la tangente en a tiene distinto signo a la izquierda que a la derecha.

Por lo tanto f tiene un punto de inflexión en a si en dicho punto la tangente atraviesa a la gráfica.

Ejemplo 7. En la gráfica aparece la función y = x³ y la tangente en el punto x =0. Se aprecia que en dicho punto la gráfica posee una inflexión.

                               Figura 5

Proposición. Si la función es derivable en a y f’’(a)>0 se verifica que f es convexa en a.

Análogamente si f es derivable en a y f’’(a)<0 se verifica que f es cóncava en a.

Criterio práctico. Para calcular los puntos de inflexión se halla la derivada segunda de f, se igual a cero y se resuelve la ecuación. En las soluciones de la ecuación se estudia y si cambia la curvatura hay punto de inflexión.

f ’’(x)	+	0	-
f (x)	Convexa È	P.inf	Cóncava Ç

Ejemplo 8. En la gráfica de la figura se aprecia que la función es cóncava en el punto –1 es convexa en el punto 3/2 y tiene un punto de inflexión en el 0:

Ejercicio 15. Dada la función  estudia la curvatura y los puntos de inflexión.

9. Aplicación de la derivada a la representación gráfica de funciones

El conocimiento de una función se completa perfectamente dibujando su gráfica, los siguientes resultados dan una idea aproximada de ésta:

I) Estudio de f (resumen)

1º Dominio de f.

2º Puntos de corte con los ejes.

3º Signo de la función (regiones en las que varía el signo).

4º Simetrías.

- Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas.

- Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen.

5º Asíntotas

- Verticales

Si existe a tal que , x =a es la ecuación de una asíntota vertical.

- Horizontales

Si ,  y =b es una asíntota horizontal.

- Oblicuas

Si    y  , y =m x +n es una asuntota oblicua.

II) Estudio de f’ (resumen)

1º Crecimiento y decrecimiento.

Si f ’(x)>0 , f es creciente. Si f ’(x)<0, f es decreciente.

2º Máximos y mínimos relativos

Condición necesaria de máximo y mínimo es que f ’(x)=0.

III) Estudio de f’’(resumen)

1º Concavidad y convexidad, f ’’>0 convexa È, f ’’<0 cóncava Ç

2º S i f ’’(x₀) =0 y en dicho punto cambia la curvatura es punto de inflexión.